本书讲直观，讲历史，讲理解，讲原型，讲欣赏，讲意境，讲设计，讲洞察，讲猜测，讲发展，简易直接，把握整体，力图使读者有体系自立、定理自出、居高临下、势如破竹的感觉。

本书先回顾一下有限维空间的数学理论：初等几何(边长、角度以及它们之间的关系)，初等代数(线性代数方程组、高次代数方程求解)，解析几何(坐标空间及其与向量空间的关系)，微积分(函数、极限、连续、连续函数的性质、全微分、方向导数、取极值的条件、隐函数定理、Stokes公式)；接着把这些理论推广到无穷维空间，就产生本书的主要内容。

第1章 Banach空间与Hilbert空间——无穷维空间中的初等几何和初等代数

 1.1 线性赋范空间

 1.2 线性算子与对偶空间

第2章 Banach空间中的微分学——变分原理、非线性分析导引

 2.1 Banach空间中的微分学

 2.2 非线性算子引论

第3章 Sobolev空间与椭圆型方程——以能量为长度的几何

第4章 不动点与拓扑度——变易、不易、简易的原理

 4.1 非线性紧算子与单调算子

 4.2 度论导引

参考文献